In der Mathematik ist eine transzendentale Zahl eine reelle oder komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, d. h. sie ist keine Wurzel aus einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, die nicht Null ist. Das bedeutet, dass sie nicht die Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten ist, aber sie kann die Lösung einer Polynomgleichung mit reellen oder komplexen Koeffizienten sein.
Transzendentale Zahlen sind in der Regel irrationale Zahlen, die mehrere interessante Eigenschaften haben. Transzendentale Zahlen sind auf der reellen Zahlengeraden und in der komplexen Ebene sehr dicht, d. h. zwischen zwei beliebigen transzendentalen Zahlen gibt es unendlich viele weitere transzendentale Zahlen. Alle Liouville-Zahlen sind transzendental, und alle transzendentalen Zahlen sind Liouville-Zahlen, aber nicht alle reellen Zahlen sind es auch.
Das Konzept der transzendentalen Zahlen wurde erstmals von Joseph Fourier im Jahr 1814 definiert, aber erst durch die Arbeit von Carl Louis Ferdinand von Lindemann im Jahr 1882 wurde bewiesen, dass pi und e transzendentale Zahlen sind. Seitdem wurden viele weitere transzendente Zahlen entdeckt und untersucht.
Einige klassische Beispiele für transzendentale Zahlen sind pi (3,14159...) und e (2,71828...). Diese beiden Zahlen wurden ausgiebig untersucht und haben zahlreiche Anwendungen in Mathematik und Wissenschaft gefunden. Weitere Beispiele für transzendente Zahlen sind der Goldene Schnitt (1,61803...) und die Eulersche Zahl (0,5772...).
Transzendente Zahlen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Sie werden verwendet, um Gleichungen zu lösen und um die Werte bestimmter Konstanten zu berechnen. Sie werden auch in der Infinitesimalrechnung verwendet, um die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, und in der Zahlentheorie, um die Eigenschaften von Primzahlen zu untersuchen.
Transzendentale Zahlen sind in der Regel irrationale Zahlen, d. h. sie können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Das liegt daran, dass transzendentale Zahlen eine unendliche Anzahl von Ziffern enthalten, die sich nie in einem bestimmten Muster wiederholen. Daher ist es unmöglich, sie als Brüche darzustellen.
Die Anwendungen der transzendentalen Zahlen sind zahlreich. Sie können verwendet werden, um die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, den Wert bestimmter Konstanten zu berechnen und bestimmte Arten von Gleichungen zu lösen. Sie werden auch in der Technik, der Physik und der Informatik verwendet.
Obwohl transzendentale Zahlen ausgiebig untersucht wurden, bleiben sie eine Quelle von ungelösten Problemen. Bei vielen dieser Probleme geht es darum, neue transzendentale Zahlen zu finden und die Eigenschaften der bestehenden Zahlen zu verstehen. Daher ist das Studium der transzendentalen Zahlen nach wie vor ein aktives Forschungsgebiet.
In der Mathematik ist eine transzendentale Variable eine Variable, die nicht die Wurzel aus einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Transzendentale Variablen werden manchmal auch als Transzendentale bezeichnet. Der Begriff "transzendental" leitet sich vom lateinischen Wort transcendentalis ab, das "darüber hinausgehend" bedeutet.
Pi ist eine transzendentale Zahl, das heißt, sie ist nicht die Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten. Sie ist auch irrational, d. h. sie kann nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden (d. h. als Bruch p/q, wobei p und q ganze Zahlen sind).
Transzendental bedeutet jenseits der gewöhnlichen oder materiellen Welt.
Eine transzendentale Funktion ist eine Funktion, die nicht algebraisch ist. Das heißt, sie ist keine Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten. Die bekanntesten transzendentalen Funktionen sind Exponentialfunktionen, die keine Lösungen algebraischer Gleichungen sind.
Die vier Transzendentalen sind das Absolute, Unendliche, Vollkommene und Ewige. Sie sind die höchste und vollkommenste Realität, die jenseits der materiellen Welt existiert.