Algebraische Zahlen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, und ihr Verständnis kann viele Möglichkeiten und Anwendungen erschließen. In diesem Artikel werden wir die Geheimnisse der algebraischen Zahlen enträtseln.
Eine algebraische Zahl ist jede Zahl, die eine Lösung einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Diese Zahlen werden auch als Wurzeln von Polynomen bezeichnet, und ihr Grad (oder die Anzahl der Terme in der Polynomgleichung) bestimmt die Komplexität der algebraischen Zahl.
Algebraische Zahlen sind mit Polynomen verbunden. Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Variablen und Koeffizienten besteht. Ein Primzahlpolynom ist ein Polynom, dessen Terme nicht weiter geteilt oder faktorisiert werden können. Ein irreduzibles Polynom ist ein Polynom, das nicht in kleinere Polynome zerlegt werden kann.
Algebraische Abschlüsse sind Sammlungen von algebraischen Zahlen, die durch arithmetische Operationen abgeschlossen werden. Algebraische Erweiterungen sind ähnlich, aber sie sind Sammlungen von algebraischen Zahlen, die nicht notwendigerweise unter arithmetischen Operationen geschlossen sind.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Polynomgleichung mit komplexen Koeffizienten mindestens eine Wurzel hat, die eine algebraische Zahl ist. Dieses Theorem ist die Grundlage der algebraischen Zahlentheorie.
Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können, während transzendente Zahlen Zahlen sind, die nicht als Brüche geschrieben werden können. Algebraische Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen; sie sind keine transzendentalen Zahlen.
Algebraische Zahlen können verwendet werden, um die Werte bestimmter Elementarfunktionen zu berechnen, z. B. Quadratwurzel, Logarithmus und Exponentialfunktionen.
Algebraische Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die sowohl reale als auch imaginäre Komponenten haben.
Algebraische Zahlen haben ein breites Anwendungsspektrum, das von der Lösung polynomialer Gleichungen bis zur Kryptographie und Zahlentheorie reicht. Sie werden auch in fortgeschrittenen mathematischen Anwendungen wie der Infinitesimalrechnung, Differentialgleichungen und der linearen Algebra verwendet.
Algebraische Zahlen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik und haben viele Anwendungen. Nachdem Sie nun die Grundlagen der algebraischen Zahlen kennen, können Sie sie nutzen, um weitere mathematische Konzepte zu erforschen und neue Möglichkeiten zu erschließen.
Eine transzendentale Zahl ist eine reelle oder komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, d. h. sie ist nicht die Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, das nicht Null ist. Mit anderen Worten, eine transzendente Zahl kann nicht als endliche Kombination ganzer Potenzen rationaler Zahlen ausgedrückt werden. Transzendente Zahlen werden manchmal auch als irrationale Zahlen bezeichnet, obwohl dies technisch nicht korrekt ist.
Eine rationale Zahl ist eine algebraische ganze Zahl, wenn sie als eine rationale Zahl mal eine algebraische ganze Zahl geschrieben werden kann. Mit anderen Worten, eine rationale Zahl ist eine algebraische ganze Zahl, wenn sie in der Form a/b geschrieben werden kann, wobei a und b algebraische ganze Zahlen sind.
Ein algebraischer Ausdruck ist ein anderer Name für einen mathematischen Ausdruck, der eine oder mehrere Variablen enthält.
Ein algebraischer Term ist ein Ausdruck, der als Produkt aus Konstanten und Variablen geschrieben werden kann. Zum Beispiel ist der Ausdruck x + y ein algebraischer Term. Die Terme in einem algebraischen Ausdruck können durch Addition oder Subtraktion getrennt werden.
Die Anzahl der algebraischen Zahlen ist unendlich.