Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit z=X−μσ in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Sie wird auch als Gauß-Verteilung bezeichnet, da sie durch eine gaußsche Glockenkurve dargestellt wird. Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung, die in vielen Bereichen der Statistik und Naturwissenschaften Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns die Normalverteilung genauer ansehen und erklären, wie man mit ihr rechnet.
Die Normalverteilung beschreibt eine Verteilung von Zufallsvariablen. Sie besagt, dass sich die Werte einer Zufallsvariable um einen Mittelwert herum verteilen und dass diese Verteilung symmetrisch ist. Die Normalverteilung ist durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion definiert, die eine gaußsche Glockenkurve darstellt. Diese Kurve hat einen Scheitelpunkt an der Stelle des Mittelwerts und fällt symmetrisch nach links und rechts ab.
Die gaußsche Glockenkurve gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Die Fläche unter der Kurve gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall liegt. Zum Beispiel gibt die Fläche unter der Kurve zwischen dem Mittelwert minus einer Standardabweichung und dem Mittelwert plus einer Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable in diesem Intervall liegt.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert herum. Je größer die Standardabweichung ist, desto breiter ist die gaußsche Glockenkurve und desto größer ist die Streuung der Werte. Die Standardabweichung gibt auch an, wie weit die Werte von ihrem Mittelwert entfernt sind. Eine Standardabweichung von 1 bedeutet, dass die Werte in der Regel innerhalb eines Intervalls von einem Mittelwert minus einer Standardabweichung bis zum Mittelwert plus einer Standardabweichung liegen.
Eine Normalverteilungstabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte der Zufallsvariable an. Die Tabelle ist normalerweise in zwei Teile unterteilt: den linken Teil für negative Werte der Zufallsvariable und den rechten Teil für positive Werte. Um eine Wahrscheinlichkeit zu finden, suchen Sie den Wert in der linken Spalte und den Wert in der oberen Zeile, die dem gewünschten Intervall entspricht. Die Zahl in der Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall an.
Die Normalverteilung wird in vielen Bereichen der Statistik und Naturwissenschaften verwendet, wenn die Verteilung der Daten normal ist. Zum Beispiel kann die Normalverteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein bestimmtes Stichprobenmittelwert innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt. Die Normalverteilung wird auch in der Qualitätskontrolle verwendet, um zu bestimmen, ob ein Prozess in der Lage ist, bestimmte Toleranzen einzuhalten.
Die Normalverteilung wird angewendet, wenn man mit stetigen, quantitativen Daten arbeitet, die eine symmetrische Verteilung aufweisen und um einen Mittelwert herum gruppiert sind. Sie wird auch verwendet, wenn man Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen möchte, die aufgrund von zufälligen Faktoren auftreten können.
Um die Standardabweichung zu berechnen, müssen Sie zuerst den Mittelwert der Daten berechnen. Dann müssen Sie die Abweichung jedes Datenpunkts vom Mittelwert quadrieren und die Summe der quadrierten Abweichungen berechnen. Diese Summe wird durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins dividiert, und dann wird die Quadratwurzel des Ergebnisses genommen. Dies gibt Ihnen die Standardabweichung der Daten. Die Formel lautet:
Standardabweichung = Wurzel((Σ(xi – x̄)²) / (n-1))
wobei xi die einzelnen Datenpunkte sind, x̄ der Mittelwert der Daten und n die Anzahl der Datenpunkte ist.
Es ist möglich, dass Schulnoten normalverteilt sind, aber es hängt von der Verteilung der Schülerleistungen ab. Wenn die meisten Schüler ähnliche Noten haben und nur wenige Ausreißer gibt, kann die Verteilung normal sein. Wenn jedoch die Schülerleistungen sehr unterschiedlich sind, ist es unwahrscheinlich, dass die Noten normalverteilt sind. Es kommt auch darauf an, welche Skala für die Bewertung verwendet wird. Insgesamt ist es schwierig zu sagen, ob Schulnoten normalverteilt sind, ohne die spezifischen Daten zu kennen.