- Beide Funktionsgleichung gleichsetzen.
- Gleichungen nach x auflösen.
- x in eine der beiden Funktionen einsetzen, um y zu berechnen.
Lineare Funktionen sind in der Mathematik eine wichtige Grundlage für viele Berechnungen. Eine wichtige Fragestellung ist dabei die Bestimmung von Schnittpunkten und der maximalen Höhe einer Funktion. In diesem Artikel werden diese Themen genauer betrachtet und erläutert.
Um den Schnittpunkt zweier Funktionen zu berechnen, muss man die Funktionen gleichsetzen und nach der Variablen auflösen. Das Ergebnis ist der x-Wert des Schnittpunkts. Um den y-Wert zu bestimmen, setzt man den x-Wert in eine der Funktionen ein und erhält somit den gesuchten y-Wert. Beispiel: Gegeben seien die Funktionen f(x) = 2x + 1 und g(x) = -3x + 7. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man die Funktionen gleich: 2x + 1 = -3x + 7. Durch Umformen erhält man x = 1. Um den y-Wert zu bestimmen, setzt man x = 1 in eine der Funktionen ein, z.B. in f(x): f(1) = 2*1 + 1 = 3. Der Schnittpunkt ist somit (1, 3).
Die maximale Höhe einer linearen Funktion ergibt sich aus dem Scheitelpunkt. Um diesen zu berechnen, muss man die Funktion in die Scheitelpunktform umformen: f(x) = a*(x – h)^2 + k. Dabei ist a die Steigung der Funktion, h der x-Wert des Scheitelpunkts und k der y-Wert des Scheitelpunkts. Der Scheitelpunkt liegt somit bei (h, k). Die maximale Höhe der Funktion entspricht dem y-Wert des Scheitelpunkts. Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = -2x^2 + 8x + 5. Um den Scheitelpunkt zu berechnen, muss man die Funktion in die Scheitelpunktform umformen: f(x) = -2*(x – 2)^2 + 9. Der Scheitelpunkt liegt somit bei (2, 9) und die maximale Höhe beträgt 9.
yS ist der y-Wert des Schnittpunkts zweier Funktionen. Um yS zu berechnen, muss man den Schnittpunkt berechnen und den y-Wert ablesen. Beispiel: Gegeben seien die Funktionen f(x) = 2x + 1 und g(x) = -3x + 7. Der Schnittpunkt wurde in der vorherigen Frage berechnet und lautet (1, 3). Der y-Wert des Schnittpunkts ist somit yS = 3.
Eine Funktion gibt an, wie sich eine Größe in Abhängigkeit von einer anderen Größe verhält. Eine Funktion wird in der Regel durch eine Funktionsgleichung dargestellt. Um die Funktionswerte zu berechnen, setzt man verschiedene Werte für die unabhängige Variable in die Funktionsgleichung ein und erhält somit die entsprechenden Funktionswerte. Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x + 1. Um den Funktionswert für x = 3 zu berechnen, setzt man x = 3 in die Funktionsgleichung ein: f(3) = 2*3 + 1 = 7. Der Funktionswert für x = 3 beträgt somit 7.
Um eine Funktionsgleichung mit einem Punkt zu berechnen, benötigt man neben dem Punkt noch die Steigung der Funktion. Die Steigung ergibt sich aus der Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte. Beispiel: Gegeben sei der Punkt P(2, 5) und die Steigung m = 3. Um die Funktionsgleichung zu berechnen, setzt man den Punkt und die Steigung in die allgemeine Form der linearen Funktion y = mx + b ein und löst nach b auf: 5 = 3*2 + b. Durch Umformen erhält man b = -1. Die Funktionsgleichung lautet somit y = 3x – 1.
Durch zwei Punkte kann man immer genau eine Gerade zeichnen. Die Gerade ist eindeutig bestimmt durch die beiden Punkte und verläuft durch diese.
Um den Steigungswinkel einer linearen Funktion zu berechnen, muss man die Steigung der Funktion m berechnen und dann den Arkustangens von m nehmen. Der Arkustangens gibt den Winkel zurück, dessen Tangens gleich der Steigung ist. Die Formel lautet:
Steigungswinkel = arctan(m)
Dabei steht m für die Steigung der linearen Funktion.
Die Steigung m einer linearen Funktion kann berechnet werden, indem man die Veränderung der y-Koordinate durch die Veränderung der x-Koordinate dividiert. Die Formel lautet: m = (y2 – y1) / (x2 – x1).
Ja, m ist die Steigung.