Standardabweichung bei großem n: σ=√Var(x)=√n⋅p⋅(1−p)
Die Standardabweichung ist ein wichtiger Begriff in der Stochastik, der die Streuung von Daten um den Mittelwert beschreibt. Die Standardabweichung wird oft in der Finanzmathematik, der Statistik und anderen Bereichen verwendet, um zu verstehen, wie weit die Daten von ihrem Mittelwert entfernt sind. In diesem Artikel werden wir uns eingehend mit der Berechnung der Standardabweichung bei einer Normalverteilung befassen.
Die Standardabweichung bei einer Normalverteilung wird berechnet, indem man die Quadratwurzel der Varianz nimmt. Die Varianz ist definiert als die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Um die Standardabweichung zu berechnen, muss man also zuerst die Varianz berechnen und dann die Quadratwurzel davon nehmen.
Die Standardabweichung wird normalerweise nicht in Prozent angegeben. Stattdessen wird sie in den gleichen Einheiten wie die zugrunde liegenden Daten angegeben. Zum Beispiel, wenn die Daten in Metern gemessen wurden, wird die Standardabweichung auch in Metern angegeben. Wenn die Daten in Euro gemessen wurden, wird die Standardabweichung in Euro angegeben.
Die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung ist die Wurzel aus np(1-p), wobei n die Anzahl der Versuche ist und p die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei jedem Versuch ist. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, die verwendet wird, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, z.B. Erfolg oder Misserfolg.
Die Standardabweichung in der Stochastik gibt Auskunft darüber, wie stark die Daten um den Mittelwert streuen. Wenn die Standardabweichung hoch ist, bedeutet dies, dass die Daten weit vom Mittelwert entfernt sind. Wenn die Standardabweichung niedrig ist, bedeutet dies, dass die Daten eng um den Mittelwert gruppiert sind.
Die relative Standardabweichung wird berechnet, indem man die Standardabweichung durch den Mittelwert dividiert und das Ergebnis mit 100 multipliziert. Die relative Standardabweichung gibt Auskunft darüber, wie groß die Standardabweichung im Verhältnis zum Mittelwert ist. Eine hohe relative Standardabweichung bedeutet, dass die Daten weit vom Mittelwert entfernt sind, während eine niedrige relative Standardabweichung bedeutet, dass die Daten eng um den Mittelwert gruppiert sind.
Eine Standardabweichung ist signifikant, wenn sie größer ist als das 2-fache der Standardabweichung des Mittelwerts. Dies bedeutet, dass es eine hohe Wahrscheinlichkeit gibt, dass die Daten nicht zufällig um den Mittelwert streuen, sondern dass es eine systematische Ursache für die Streuung gibt. In diesem Fall müssen weitere Untersuchungen durchgeführt werden, um die Ursache für die Streuung zu identifizieren.
Insgesamt ist die Standardabweichung ein wichtiger Begriff in der Stochastik, der verwendet wird, um die Streuung von Daten um den Mittelwert zu beschreiben. Die Standardabweichung bei einer Normalverteilung wird berechnet, indem man die Quadratwurzel der Varianz nimmt. Die Standardabweichung wird normalerweise nicht in Prozent angegeben und ist in den gleichen Einheiten wie die zugrunde liegenden Daten angegeben. Die relative Standardabweichung gibt Auskunft darüber, wie groß die Standardabweichung im Verhältnis zum Mittelwert ist. Eine Standardabweichung ist signifikant, wenn sie größer ist als das 2-fache der Standardabweichung des Mittelwerts.
In der Formel für die Standardabweichung bei einer Normalverteilung bezieht sich n auf die Stichprobengröße, also die Anzahl der Datenpunkte in der untersuchten Stichprobe.
In der Berechnung der Standardabweichung bei einer Normalverteilung wird N-1 Freiheitsgrade verwendet, da eine Stichprobe immer eine gewisse Unsicherheit in der Schätzung der Populationsparameter aufweist. Durch die Verwendung von N-1 Freiheitsgraden wird diese Unsicherheit berücksichtigt und es wird ein konservativerer Schätzwert für die Standardabweichung erreicht. Wenn N Freiheitsgrade verwendet werden würden, würde dies zu einer Unterschätzung der Unsicherheit führen, was zu einem ungenaueren Schätzwert führen würde.
Die Formel zur Berechnung der Standardabweichung bei einer Normalverteilung beinhaltet eine Division durch N-1 anstatt durch N. Dies liegt daran, dass bei einer Stichprobe die tatsächliche Standardabweichung der zugrunde liegenden Population nicht bekannt ist und daher eine Schätzung vorgenommen werden muss. Durch die Division durch N-1 wird der Schätzfehler reduziert und eine genauere Schätzung der Standardabweichung erreicht.