Die Regressionsanalyse ist ein sehr wichtiger Bestandteil der Statistik. Sie ist ein Verfahren, das dazu dient, Zusammenhänge zwischen zwei oder mehreren Variablen zu untersuchen. Dabei wird eine sogenannte Regressionsgleichung aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen den Variablen beschreibt. Der Regressionskoeffizient ist ein wichtiger Parameter in dieser Gleichung und gibt Auskunft über die Stärke und Richtung des Zusammenhangs.
Um eine Regressionsgleichung aufzustellen, benötigt man zunächst eine Stichprobe von Daten, die aus mindestens zwei Variablen besteht. Dabei wird eine Variable als abhängige Variable (Y) und eine als unabhängige Variable (X) definiert. Die Regressionsgleichung lautet dann: Y = a + bX + e, wobei a der Y-Achsenabschnitt, b der Regressionskoeffizient und e der Fehlerterm ist. Der Regressionskoeffizient gibt an, wie stark die abhängige Variable von der unabhängigen Variable abhängt.
Die Regressionsgerade ist der graphische Ausdruck der Regressionsgleichung. Sie zeigt den Verlauf des Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen. Die Regressionsgerade verläuft dabei so, dass die Summe der Abstände aller Datenpunkte von der Geraden minimal ist. Je höher der Regressionskoeffizient, desto steiler verläuft die Regressionsgerade. Der Schnittpunkt der Regressionsgerade mit der Y-Achse gibt den Wert an, den die abhängige Variable annimmt, wenn die unabhängige Variable den Wert Null hat.
Die Standardabweichung s ist ein Maß für die Streuung der Daten um den Mittelwert. Die Formel für die Standardabweichung lautet: s = Wurzel aus (Σ(xi – x)^2 / (n-1)), wobei xi der i-te Datenpunkt, x der Mittelwert und n die Stichprobengröße ist.
Die Standardabweichung ist ein wichtiger Parameter, um die Genauigkeit von Schätzungen zu bestimmen. Sie wird oft verwendet, um Konfidenzintervalle zu berechnen oder Hypothesentests durchzuführen. Um mit der Standardabweichung zu rechnen, verwendet man oft die z-Transformation, bei der man den Abstand eines Datenpunkts zum Mittelwert in Standardabweichungen angibt. Dadurch können Datenpunkte vergleichbar gemacht werden, die auf unterschiedlichen Skalen gemessen wurden.
Die Wahl der Standardabweichung hängt von der Fragestellung ab. Wenn man die Streuung von Datenpunkten innerhalb einer Stichprobe berechnen möchte, verwendet man die Standardabweichung s. Wenn man jedoch die Streuung von Mittelwerten von mehreren Stichproben berechnen möchte, verwendet man die Standardabweichung n. Die Standardabweichung n ist dabei kleiner als die Standardabweichung s, da sie die Variabilität von Mittelwerten berücksichtigt, die durch Zufallsschwankungen in den Stichproben entstehen.
Ein R2 Score von 0 bedeutet, dass die vom Modell erklärte Varianz der abhängigen Variablen Null ist. Das Modell kann also keine Vorhersagen treffen oder keine Beziehung zwischen den Variablen erklären.
Ja, R² kann theoretisch negativ sein, obwohl dies sehr selten vorkommt. R² ist ein Maß dafür, wie gut die Regressionsgerade die Daten darstellt, und kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Ein negativer Wert würde bedeuten, dass die Regressionsgerade schlechter abschneidet als eine horizontale Linie. In der Praxis tritt dies jedoch normalerweise nicht auf, da die Regressionsgerade immer eine gewisse Anpassung an die Daten zeigt.
Der R2-Wert kann zwischen 0 und 1 liegen, wobei ein höherer Wert darauf hinweist, dass die Regression besser passt. Ein guter R2-Wert hängt jedoch von der Art der Daten und dem Ziel der Analyse ab. Im Allgemeinen wird ein R2-Wert von 0,7 oder höher als gut angesehen, aber es gibt keine feste Regel dafür.