In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es verschiedene Verteilungen, die zur Beschreibung von Zufallsexperimenten herangezogen werden können. Zwei dieser Verteilungen sind die Bernoulli- und die Binomialverteilung. Doch was unterscheidet diese beiden Verteilungen voneinander?
Die Bernoulli-Verteilung wird verwendet, um den Ausgang eines Zufallsexperiments mit nur zwei möglichen Ergebnissen zu beschreiben. Zum Beispiel kann man damit die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei einem Münzwurf Kopf oder Zahl erscheint. Dabei wird eine Wahrscheinlichkeit von p für das Eintreten des einen Ereignisses und q = 1-p für das Eintreten des anderen Ereignisses angenommen. Die Bernoulli-Verteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge in n unabhängigen Versuchen an.
Im Gegensatz dazu beschreibt die Binomialverteilung das Ergebnis von n unabhängigen Zufallsexperimenten mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen. Dabei wird für jedes Experiment eine Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des einen Ereignisses und q = 1-p für das Eintreten des anderen Ereignisses angenommen. Die Binomialverteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge in n Versuchen an.
Eine hohe Standardabweichung spricht man dann, wenn die einzelnen Werte einer Verteilung weit auseinanderliegen. Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Werte einer Verteilung um den Mittelwert streuen. Je größer die Standardabweichung, desto größer ist die Streuung der Daten um den Mittelwert.
Die Varianz und Standardabweichung geben Auskunft darüber, wie stark die einzelnen Werte einer Verteilung um den Mittelwert streuen. Dabei ist die Varianz das Quadrat der Standardabweichung. Die Standardabweichung ist das gebräuchlichere Maß für die Streuung, da sie in der gleichen Einheit wie die Daten gemessen wird.
Eine Standardabweichung ist signifikant, wenn sie im Verhältnis zu den Daten groß ist und somit eine hohe Streuung der Daten um den Mittelwert anzeigt. Wie groß eine Standardabweichung sein muss, um als signifikant zu gelten, hängt von verschiedenen Faktoren ab, wie zum Beispiel der Größe der Stichprobe und der Art der Verteilung.
Die Standardabweichung kann grundsätzlich alle positiven Werte annehmen. Die genaue Höhe der Standardabweichung hängt dabei von der Streuung der Daten ab. Die Formel für die Standardabweichung s lautet: s = Wurzel aus ((Σ(xi-x̄)²)/(n-1)), wobei xi die einzelnen Datenpunkte, x̄ der Mittelwert und n die Anzahl der Datenpunkte darstellen.
Die Standardabweichung wird in der Regel nicht in Prozent angegeben, sondern in der gleichen Einheit wie die Daten selbst. Bei der Bernoulli-Verteilung entspricht die Standardabweichung der Wurzel aus p(1-p), wobei p die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis ist. Bei der Binomialverteilung entspricht die Standardabweichung der Wurzel aus np(1-p), wobei n die Anzahl der Versuche ist und p die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis.
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden können. Zum Beispiel kann das Werfen einer Münze als Bernoulli-Versuch betrachtet werden, da das Ergebnis entweder Kopf oder Zahl ist. Ein Bernoulli-Versuch wird oft verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses zu berechnen.
Eine Binomialverteilung ist dann symmetrisch, wenn die Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg gleich sind und die Anzahl der Versuche gerade ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für n-k Misserfolge.