haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen. gebildet werden. Eine Untergruppe, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet wird, heißt charakteristische Untergruppe der Gruppe.
Eine Untergruppierung ist eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe ist. Es handelt sich dabei also um eine Teilstruktur einer Gruppe, die alle Axiome einer Gruppe erfüllt. Eine Untergruppe kann aus beliebigen Elementen einer Gruppe gebildet werden, solange diese die Gruppenaxiome erfüllen. Beispielsweise kann man aus der Gruppe der ganzen Zahlen die Untergruppen der geraden oder ungeraden Zahlen bilden.
Eine wichtige Rolle spielt dabei der Homomorphismus, der eine Funktion zwischen Gruppen ist, die die Gruppenstruktur erhält. Das bedeutet, dass die Verknüpfungen der Elemente einer Gruppe in der Untergruppe genauso funktionieren wie in der Gruppe selbst. Ein Homomorphismus bildet also Elemente einer Gruppe auf Elemente einer anderen Gruppe ab, wobei die Verknüpfungen erhalten bleiben.
Normalteiler sind Untergruppen, die invariant unter Konjugationen sind. Konjugation bedeutet dabei, dass man ein Element der Gruppe mit einem anderen Element konjugiert, indem man es mit diesem Element multipliziert und dann mit dessen Inversen wieder rückgängig macht. Normalteiler sind also Untergruppen, deren Elemente durch Konjugationen nicht aus der Untergruppe herausgeführt werden können. Abelsche Gruppen sind dabei ein Spezialfall von Normalteilern, da in Abelschen Gruppen alle Elemente miteinander vertauschbar sind.
Um eine Gruppe zu definieren, benötigt man eine Menge von Elementen, auf denen eine Verknüpfung definiert ist, die bestimmte Axiome erfüllt. Diese Axiome sind das Assoziativgesetz, das Existenz eines neutralen Elements, das Inversenelement und das Kommutativgesetz (nur bei Abelschen Gruppen). Eine Gruppe kann aus einer beliebigen Menge von Elementen gebildet werden, solange die Verknüpfungen die Gruppenaxiome erfüllen.
Die Menge N+ der natürlichen Zahlen ohne Null ist keine Gruppe, da sie nicht das Inversenelement erfüllt. Das bedeutet, dass es für jedes Element der Menge kein anderes Element gibt, das bei Multiplikation das neutrale Element ergibt. Das neutrale Element der Multiplikation ist dabei die Zahl 1.
Eine Gruppe ist zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird. Das bedeutet, dass jedes Element der Gruppe durch Potenzieren dieses Elements erreicht werden kann. Beispielsweise ist die Gruppe der ganzen Zahlen zyklisch, da sie von der Zahl 1 erzeugt wird. Eine Gruppe kann aber auch mehrere Erzeugerelemente haben und trotzdem zyklisch sein.
Nicht alle Mengen sind Gruppen. Eine Menge ist eine Gruppe, wenn sie bestimmte Eigenschaften erfüllt, wie beispielsweise eine assoziative Verknüpfung, das Vorhandensein eines neutralen Elements und jedes Elements hat ein Inverses.
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