Lineare Funktionen sind eine wichtige Klasse von Funktionen in der Mathematik. Sie beschreiben eine einfache Beziehung zwischen zwei Variablen, bei der der Wert der einen Variable direkt proportional zum Wert der anderen Variable ist. Eine lineare Funktion kann folgendermaßen geschrieben werden: y = mx + b. Dabei ist m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt.
Eine wichtige Eigenschaft von linearen Funktionen ist, dass sie immer eine gerade Linie erzeugen. Die Steigung m gibt dabei an, wie steil oder flach die Linie ist. Ist m positiv, steigt die Linie von links nach rechts an. Ist m negativ, fällt die Linie von links nach rechts ab. Der y-Achsenabschnitt b gibt an, wo die Linie die y-Achse schneidet.
Eine Tangente an eine Funktion ist eine Gerade, die die Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Zwei Tangenten sind parallel, wenn sie die Funktion an zwei verschiedenen Punkten berühren und dabei denselben Steigungswert haben. Parallele Geraden sind Geraden, die nie zusammentreffen, sondern immer denselben Abstand zueinander haben.
Orthogonale lineare Funktionen
Zwei lineare Funktionen sind orthogonal zueinander, wenn sie sich bei einem rechten Winkel schneiden. Sie haben dabei eine Steigung, die das negative Kehrwert der anderen Steigung ist. Das bedeutet, dass sie senkrecht zueinander stehen.
Zwei lineare Funktionen schneiden sich, wenn sie denselben Punkt auf der x-y-Ebene haben. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems, das aus den beiden Funktionen gebildet wird. Bei einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion können sich die Funktionen an einem oder mehreren Punkten schneiden.
Die Gleichung y = 2 beschreibt eine horizontale Gerade, die die y-Achse bei y = 2 schneidet. Diese Gerade ist eine Funktion, da für jeden x-Wert genau ein y-Wert existiert. Es handelt sich hierbei um eine konstante Funktion, da sich der y-Wert nicht ändert, wenn der x-Wert variiert.
Um einen Punkt zu berechnen, benötigt man in der Regel die Koordinaten des Punktes. Bei einer linearen Funktion kann man die Koordinaten des Punktes berechnen, indem man einen x-Wert in die Funktion einsetzt und den entsprechenden y-Wert berechnet. Zum Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x + 3. Um den Punkt mit x-Koordinate 4 zu berechnen, setzt man den Wert 4 für x ein: f(4) = 2(4) + 3 = 11. Der Punkt hat also die Koordinaten (4, 11).
Um zu berechnen, ob ein Punkt auf der Funktion liegt, muss man die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen. Wenn der Wert, der dabei herauskommt, mit dem y-Wert des Punktes übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Funktion. Mathematisch ausgedrückt: Wenn für einen Punkt mit den Koordinaten (x,y) gilt f(x) = y, dann liegt der Punkt auf der Funktion y = f(x).
Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu berechnen, benötigt man zwei Punkte auf der Geraden oder einen Punkt und die Steigung. Mit diesen Informationen kann man die Steigungsdreieck-Methode oder die Punkt-Steigungs-Formel verwenden, um die Funktionsgleichung aufzustellen.