Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und einer Verknüpfung auf dieser Menge besteht. Um eine Gruppe zu sein, muss die Verknüpfung bestimmte Eigenschaften erfüllen, wie etwa Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von inversen Elementen. Es gibt viele Beispiele von Gruppen, wie zum Beispiel die symmetrische Gruppe oder die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen.
Nicht alle Mengen können zu Gruppen gemacht werden. Es gibt bestimmte Eigenschaften, die erfüllt sein müssen, um eine Gruppe zu bilden. Eine Menge muss mit einer Verknüpfung versehen werden, die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von inversen Elementen erfüllt. Wenn diese Eigenschaften erfüllt sind, dann kann die Menge als Gruppe betrachtet werden.
Die Ordnung einer Gruppe ist einfach die Anzahl der Elemente in der Gruppe. Es ist ein wichtiges Konzept in der Gruppentheorie, da es viele Aussagen über die Struktur der Gruppe erlaubt. Zum Beispiel kann die Ordnung einer Gruppe helfen, zu bestimmen, ob eine Gruppe abelsch ist oder nicht.
Ein Beispiel für eine Gruppe ist die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen außer 0. Die Verknüpfung ist die Multiplikation und das neutrale Element ist 1. Jede komplexe Zahl hat ein inverses Element, das durch die Division mit der Zahl selbst gefunden werden kann.
Q, oder die rationalen Zahlen, ist keine Gruppe, da sie nicht die Eigenschaft der Abgeschlossenheit unter der Addition erfüllt. Zum Beispiel ist die Summe 1/2 + 1/3 nicht in Q enthalten, da sie irrational ist. Daher kann Q nicht als Gruppe betrachtet werden.
Um zu zeigen, dass eine Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von inversen Elementen. Wenn diese Kriterien erfüllt sind, dann kann die Teilmenge als eine Untergruppe betrachtet werden.
Eine Untergruppe in der Mathematik ist eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist und dabei die gleiche Gruppenstruktur wie die ursprüngliche Gruppe aufweist. Das bedeutet, dass die Untergruppe ebenfalls abgeschlossen ist unter der Gruppenoperation, ein neutrales Element und inverse Elemente besitzt. Eine Untergruppe kann dabei aus einem oder mehreren Elementen der ursprünglichen Gruppe bestehen.
Eine endliche Gruppe ist zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird. Für unendliche Gruppen ist die Frage komplexer und hängt von der Struktur der Gruppe ab.
Ja, Z * ist eine Gruppe.