In der Mathematik gibt es verschiedene Formeln, um Gleichungen zu lösen. Zwei der bekanntesten Formeln sind die PQ-Formel und die ABC-Formel. Viele Menschen fragen sich, ob diese beiden Formeln eigentlich dasselbe sind. Die Antwort ist jedoch nein, denn sie werden für verschiedene Arten von Gleichungen verwendet.
Die PQ-Formel wird verwendet, um quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen, bei denen der Koeffizient a nicht null ist. Die Formel lautet: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a. Hierbei werden die beiden Lösungen für x berechnet, indem man den Wert unter der Wurzel berechnet und dann mit + oder – addiert und subtrahiert. Die PQ-Formel ist also eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Die ABC-Formel hingegen wird auch als Mitternachtsformel bezeichnet und ist eine spezielle Form der PQ-Formel. Sie wird ebenfalls zur Lösung von quadratischen Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 verwendet, jedoch wird hierbei die Diskriminante b² – 4ac direkt unter der Wurzel berechnet. Die Formel lautet: x = (-b ± sqrt(b² – 4ac)) / 2a. Die ABC-Formel ist also eine spezielle Anwendung der PQ-Formel.
Um Bruchgleichungen zu berechnen, müssen zunächst die Nenner der Brüche gleich gemacht werden. Hierzu werden die beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Danach können die Brüche durch Addition oder Subtraktion der Zähler vereinfacht werden. Anschließend wird die Gleichung wie gewohnt gelöst, indem man die Variablen auf eine Seite und die Konstanten auf die andere Seite bringt.
Die Rücksubstitution wird verwendet, um die Lösung einer Gleichung zu überprüfen. Hierbei wird die Variable durch das erhaltene Ergebnis ersetzt und die Gleichung erneut gelöst. Wenn auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe Ergebnis herauskommt, ist die Lösung korrekt.
Um den Scheitelpunkt einer Parabel abzulesen, muss die Parabel zunächst in die Scheitelpunktform gebracht werden. Diese lautet: y = a(x – h)² + k, wobei (h,k) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Der Parameter a gibt die Steigung der Parabel an. Wenn a positiv ist, öffnet die Parabel nach oben, wenn a negativ ist, öffnet sie nach unten. Wenn man den Scheitelpunkt ablesen möchte, muss man also nur die Werte für h und k aus der Scheitelpunktform ablesen.
Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe, die auf der Hypotenuse steht, gleich dem Produkt aus den beiden Abschnitten der Hypotenuse ist, in die sie das Dreieck teilt. Mathematisch ausgedrückt lautet der Höhensatz: h² = p * q, wobei h die Höhe, p und q die Abschnitte der Hypotenuse sind.
Es gibt drei bekannte Kathetensätze in der Geometrie:
1. Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
2. Der Kathetensatz von Euklid: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Kathete gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem Abschnitt dieser Hypotenuse, der auf der Seite der Kathete liegt.
3. Der Kathetensatz von Guldin: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer der Katheten gleich der Summe aus dem Quadrat über der anderen Kathete und dem Produkt aus der Hypotenuse und dem Abschnitt dieser Hypotenuse, der auf der Seite der betrachteten Kathete liegt.
Der Kathetensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist.