Die Binomialverteilung ist eine der grundlegenden Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses bei mehreren unabhängigen, gleichartigen Versuchen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, die Binomialverteilung durchzuführen: mit oder ohne Zurücklegen.
Die Binomialverteilung ohne Zurücklegen bedeutet, dass jedes Element nur einmal in der Stichprobe vorkommen kann. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses mit jedem Versuch abnimmt. Diese Art von Binomialverteilung wird auch als hypergeometrische Verteilung bezeichnet.
Schulnoten sind in der Regel nicht normalverteilt. Normalverteilung beschreibt die Verteilung von Daten, die in der Population normal verteilt sind. Schulnoten hingegen sind in der Regel nicht normal verteilt, da es immer einige Schüler gibt, die sehr gut oder sehr schlecht abschneiden.
Ein Zufallsexperiment ist dann binomialverteilt, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg oder Misserfolg. Das Experiment muss auch unabhängig und identisch durchgeführt werden. Ein Beispiel für ein binomialvertieltes Experiment wäre die Anzahl der erfolgreichen Körbe bei einem Basketballspiel.
Der Unterschied zwischen Bernoulli und Binomialverteilung besteht darin, dass Bernoulli nur ein einziges Experiment beschreibt, während die Binomialverteilung mehrere unabhängige Experimente beschreibt. Bernoulli ist also eine spezielle Form der Binomialverteilung.
Ein Histogramm wird als binomialverteilt betrachtet, wenn es eine symmetrische Verteilung aufweist. Die Anzahl der Datenpunkte auf jeder Seite des Histogramms sollte ungefähr gleich sein. Wenn das Histogramm nicht symmetrisch ist, ist es wahrscheinlich nicht binomialverteilt.
Eine hohe Standardabweichung bedeutet, dass die Daten weit verstreut sind. Das bedeutet, dass die Werte der Datenpunkte sehr unterschiedlich sind. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Daten eng beieinander liegen. Eine hohe Standardabweichung kann darauf hindeuten, dass ein Experiment nicht genau durchgeführt wurde oder dass es mehrere Faktoren gibt, die das Ergebnis beeinflussen.
Die Varianz und Standardabweichung geben an, wie stark die einzelnen Ergebnisse einer Binomialverteilung ohne Zurücklegen um den Erwartungswert streuen. Je höher die Varianz und Standardabweichung, desto größer ist die Abweichung der einzelnen Ergebnisse vom Erwartungswert.
Eine Standardabweichung ist signifikant, wenn der gemessene Wert mehrere Standardabweichungen vom erwarteten Wert entfernt ist. Die Anzahl der Standardabweichungen, die als signifikant angesehen werden, hängt von der Anzahl der Stichproben ab und wird durch die z-Test-Statistik bestimmt. In der Regel wird ein Wert als signifikant angesehen, wenn er mehr als zwei Standardabweichungen vom erwarteten Wert entfernt ist.
Wenn Daten nicht normalverteilt sind, bedeutet dies, dass sie nicht der Normalverteilung folgen, die eine spezifische symmetrische Form aufweist. Stattdessen können die Daten möglicherweise schief oder gekrümmt sein, was darauf hinweist, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daten anders ist als bei einer normalverteilten Stichprobe. In solchen Fällen können alternative statistische Methoden erforderlich sein, um die Daten zu analysieren und Schlussfolgerungen zu ziehen.